Radiochronologie : dater une roche avec un système isotopique fermé

Les séries de résultats de ces exercices sont construites pour l'activité et ne proviennent pas d'une étude réelle.

Le principe : une horloge nucléaire

Certains noyaux, dits radioactifs (isotopes pères), sont instables et se transforment spontanément en noyaux d'un autre élément (isotopes fils). Pour un noyau isolé, l'instant de la désintégration est imprévisible. Pour un très grand nombre de noyaux, la décroissance suit une loi statistique : N = N₀ e^-λt, où λ est la constante radioactive (en an^-1). La demi-vie t_1/2 = ln 2 / λ est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux pères présents s'est désintégrée. Elle ne dépend ni de la température, ni de la pression, ni de la combinaison chimique de l'élément : c'est ce qui rend cette horloge fiable.

Système fermé et événement daté

Un minéral ou une roche ne peut être daté que s'il a fonctionné en système fermé : depuis l'événement considéré (cristallisation, refroidissement sous la température dite de fermeture), aucun atome père ni fils n'est entré ou sorti. L'âge obtenu correspond alors au temps écoulé depuis cette fermeture. Il ne date pas la formation des atomes eux-mêmes, bien plus anciens. La fermeture du système isotopique (passage sous la température de fermeture) et la cristallisation du minéral ne sont pas forcément simultanées : elles coïncident si le refroidissement est rapide, mais en cas de refroidissement lent la fermeture est plus tardive que la cristallisation.

Équation fondamentale et couple Rb-Sr

Si N est le nombre actuel de noyaux pères, le nombre de noyaux fils vaut D = D₀ + N (e^λt - 1), D₀ étant la quantité de fils déjà présente à la fermeture. Dans le couple ⁸⁷Rb → ⁸⁷Sr, de constante λ = 1,42 × 10^-11 an^-1 (valeur pédagogique), on divise par l'isotope stable non radiogénique ⁸⁶Sr, ce qui permet des mesures comparables par spectrométrie de masse :

⁸⁷Sr/⁸⁶Sr = (⁸⁷Sr/⁸⁶Sr)₀ + (⁸⁷Rb/⁸⁶Sr) × (e^λt - 1).

La méthode de l'isochrone

Des échantillons cogénétiques (issus du même magma) partagent le même âge et le même rapport initial, mais ont des rapports Rb/Sr différents. En portant y = ⁸⁷Sr/⁸⁶Sr en fonction de x = ⁸⁷Rb/⁸⁶Sr, les points s'alignent sur une droite appelée isochrone. Sa pente vaut a = e^λt - 1, donc t = ln(1 + a) / λ. Son ordonnée à l'origine est le rapport initial. Deux avantages : on n'a pas besoin de connaître ce rapport initial, et l'alignement constitue un test de la fermeture du système.

Exemple analysé

Trois échantillons cogénétiques donnent : (x = 0,80 ; y = 0,7074), (x = 2,40 ; y = 0,7143), (x = 4,00 ; y = 0,7212). La pente entre les points extrêmes est a = (0,7212 - 0,7074) / (4,00 - 0,80) = 4,31 × 10^-3. Le point intermédiaire est bien sur la droite (0,7074 + 0,00431 × 1,60 = 0,7143). L'ordonnée à l'origine vaut 0,7074 - 0,00431 × 0,80 = 0,7040. L'âge est t = ln(1,00431) / 1,42 × 10^-11 = 4,30 × 10^-3 / 1,42 × 10^-11 ≈ 3,03 × 10⁸ ans, soit environ 303 Ma. Cet âge est celui de la fermeture du système isotopique, c'est-à-dire du passage de la roche sous la température de fermeture. Il coïncide avec l'âge de cristallisation seulement si le refroidissement a été rapide.

Le piège à éviter

Un âge radiochronologique n'est pas automatiquement l'âge de formation de la roche. Si de l'eau chaude, un métamorphisme ou une altération ont rouvert le système et permis des échanges d'atomes, le rapport mesuré ne reflète plus la seule désintégration. Calculer un âge à partir d'un seul minéral perturbé fournit alors un âge apparent, sans signification géologique univoque. Il faut aussi choisir un chronomètre dont la demi-vie est adaptée à la durée étudiée : le couple Rb-Sr, de demi-vie proche de 49 Ga, ne produit presque aucun ⁸⁷Sr en quelques milliers d'années.

Les séries de résultats de ces exercices sont construites pour l'activité et ne proviennent pas d'une étude réelle.

Situation-problème

Un granite affleure dans un massif ancien. Des géologues veulent savoir quand il s'est refroidi et si son système isotopique Rb-Sr est resté fermé. Ils analysent d'abord cinq échantillons cogénétiques prélevés loin de toute faille, puis des biotites prélevées à distances croissantes d'une zone broyée où des fluides chauds ont circulé. Vous devez déterminer l'âge du granite, vérifier la fermeture du système et discuter la fiabilité d'une datation fondée sur un seul minéral. Données pédagogiques simplifiées : λ(⁸⁷Rb) = 1,42 × 10^-11 an^-1 ; 1 Ma = 10⁶ ans ; 1 Ga = 10⁹ ans ; ln 2 = 0,693.

Document 1 : mesures sur cinq échantillons du granite (à plus de 200 m de toute faille)

Données pédagogiques simplifiées. Les échantillons E1 à E5 sont une roche totale et quatre minéraux issus du même magma. Précision des mesures de ⁸⁷Sr/⁸⁶Sr : ± 0,0002.

Document 2 : biotites prélevées près d'une zone broyée

Données pédagogiques simplifiées. Les trois biotites proviennent du même granite que le Document 1 et ont toutes un rapport ⁸⁷Rb/⁸⁶Sr de 20,0. Compte rendu de lame mince : à 200 m, cristaux frais et limpides ; à 50 m, bordures légèrement altérées ; à 15 m, nombreuses fractures remplies de quartz et transformation partielle en chlorite. Les analyses de roche totale de ces trois zones restent proches de l'isochrone du Document 1.

Exercice 1 : construire et exploiter l'isochrone

1. Tracez les cinq points du Document 1 dans un repère (x en abscisse, y en ordonnée) et décrivez leur disposition.
2. Expliquez pourquoi des échantillons cogénétiques d'un système fermé doivent s'aligner, et ce que signifierait un point nettement écarté de la droite.
3. Calculez la pente a à partir de E1 et E5, puis l'ordonnée à l'origine. Vérifiez avec E3.
4. Calculez l'âge en Ma et précisez quel événement il date.

Exercice 2 : ordres de grandeur et précision

1. Calculez la demi-vie du ⁸⁷Rb en Ga et comparez-la à l'âge de la Terre (4,54 Ga).
2. Calculez la proportion de ⁸⁷Rb restant après 500 Ma, puis le pourcentage désintégré.
3. Calculez l'augmentation de ⁸⁷Sr/⁸⁶Sr depuis la fermeture du système pour E1 et pour E5, en supposant le rapport initial y₀ = 0,7050 connu exactement. Calculez l'incertitude relative liée à la seule précision de mesure de ± 0,0002 dans chaque cas. Cette valeur donne-t-elle l'incertitude complète sur l'âge ? Que peut-on en déduire sur le choix des minéraux ?
4. Pour un événement de 5 000 ans, calculez l'augmentation de y pour x = 6,00 et comparez-la à la précision. Que conclure sur le choix du chronomètre ?

Exercice 3 : confronter les documents et juger la fiabilité

1. Avec l'équation de l'isochrone obtenue à l'exercice 1, calculez la valeur attendue de y pour x = 20,0, puis l'écart avec chaque biotite du Document 2.
2. Pour chaque biotite, calculez l'âge apparent en supposant le système fermé et un rapport initial de 0,7050.
3. Reliez les âges apparents aux observations de lame mince. Proposez une hypothèse explicative et précisez pourquoi trois points ne démontrent pas à eux seuls une relation de cause à effet.
4. Concluez : quel âge retenez-vous pour le granite, que représentent les deux autres valeurs, et quelle vérification supplémentaire proposez-vous ?

Correction complète

Exercice 1 : correction

1. Les points (0,50 ; 0,7086), (1,20 ; 0,7136), (2,50 ; 0,7228), (4,00 ; 0,7335) et (6,00 ; 0,7478) forment une série croissante : y augmente régulièrement avec x. Ils sont alignés dans la limite de la précision de ± 0,0002.
2. Des échantillons cogénétiques ont le même rapport initial y₀ et le même âge, donc la même pente. Ils vérifient tous y = y₀ + a x, donc s'alignent, à condition qu'aucun atome n'ait été échangé. Un point écarté signale un système ouvert pour cet échantillon (gain ou perte de Rb ou de Sr), ou un mélange de matériaux d'origines différentes.
3. a = (0,7478 - 0,7086) / (6,00 - 0,50) = 0,0392 / 5,50 = 7,13 × 10^-3 (sans unité). Ordonnée à l'origine : 0,7086 - 0,00713 × 0,50 = 0,7050. Vérification avec E3 : 0,7050 + 0,00713 × 2,50 = 0,7228, valeur mesurée.
4. t = ln(1 + a) / λ = ln(1,00713) / 1,42 × 10^-11 = 7,10 × 10^-3 / 1,42 × 10^-11 = 5,0 × 10⁸ ans, soit 500 Ma. Cet âge date la fermeture du système Rb-Sr, c'est-à-dire le passage du granite sous la température de fermeture. Il coïncide avec la cristallisation si le refroidissement a été rapide ; en cas de refroidissement lent, la fermeture est plus tardive que la cristallisation. Il ne date pas la formation des atomes.

Critères de réussite : unités et absence d'unité de la pente justifiées, vérification avec un point intermédiaire, événement daté correctement nommé.

Exercice 2 : correction

1. t_1/2 = 0,693 / 1,42 × 10^-11 = 4,88 × 10¹⁰ ans, soit 48,8 Ga. C'est environ onze fois l'âge de la Terre : très peu de ⁸⁷Rb s'est désintégré depuis la formation de la planète.
2. λt = 1,42 × 10^-11 × 5,0 × 10⁸ = 7,1 × 10^-3. La proportion restante est e^-0,0071 = 0,9929, soit 99,3 %. Environ 0,7 % du ⁸⁷Rb s'est donc désintégré.
3. Pour E1 : 0,7086 - 0,7050 = 0,0036, d'où, en supposant y₀ = 0,7050 connu exactement, une incertitude relative due à la seule mesure de 0,0002 / 0,0036 = 5,6 %. Pour E5 : 0,7478 - 0,7050 = 0,0428, d'où 0,0002 / 0,0428 = 0,5 %. Ces pourcentages ne sont pas l'incertitude complète sur l'âge : ils ignorent l'incertitude sur y₀ (qui en pratique n'est pas connu exactement mais déduit de l'ajustement), sur les rapports x, sur λ et la dispersion éventuelle des points autour de la droite. Ils montrent seulement que l'effet de la précision de mesure est bien plus faible quand le signal radiogénique est grand. Il faut donc choisir des échantillons dont les rapports Rb/Sr sont très différents : l'étendue des valeurs de x réduit l'incertitude sur la pente, donc sur l'âge.
4. λt = 1,42 × 10^-11 × 5 000 = 7,1 × 10^-8. Pour x = 6,00, l'augmentation de y vaut environ 6,00 × 7,1 × 10^-8 = 4,3 × 10^-7, soit près de 500 fois moins que la précision de 0,0002. Le signal est indiscernable : il faut un chronomètre à demi-vie courte, adaptée à la durée étudiée.

Critères de réussite : calculs avec puissances de dix maîtrisés, comparaison explicite signal/précision, lien entre demi-vie et durée datable.

Exercice 3 : correction

1. Équation : y = 0,7050 + 0,00713 x. Pour x = 20,0 : y = 0,7050 + 0,1425 = 0,8475. À 200 m, la mesure (0,8475) est sur la droite. À 50 m, l'écart est 0,8475 - 0,8310 = 0,0165. À 15 m, il est 0,8475 - 0,8120 = 0,0355. Ces écarts dépassent largement la précision de 0,0002.
2. Pente apparente = (y - 0,7050) / 20,0. À 200 m : 0,1425 / 20,0 = 7,13 × 10^-3, soit 500 Ma. À 50 m : 0,1260 / 20,0 = 6,30 × 10^-3, d'où t = ln(1,0063) / λ = 6,28 × 10^-3 / 1,42 × 10^-11 ≈ 442 Ma. À 15 m : 0,1070 / 20,0 = 5,35 × 10^-3, d'où t ≈ 5,34 × 10^-3 / 1,42 × 10^-11 ≈ 376 Ma.
3. L'âge apparent diminue quand la biotite est plus proche de la zone broyée, en même temps que la chloritisation augmente (moins de 1 %, 10 %, 40 %). Hypothèse : la circulation de fluides chauds a altéré la biotite et permis une perte de ⁸⁷Sr radiogénique ou un échange de Sr avec le milieu, donc une ouverture du système à l'échelle du minéral. Trois points ne prouvent pas la causalité : la corrélation est compatible avec l'hypothèse, mais d'autres facteurs (taille des grains, composition, fracturation) pourraient jouer. Les roches totales restant sur l'isochrone suggèrent que les échanges ont été surtout locaux.
4. On retient 500 Ma, âge de fermeture du système fourni par cinq échantillons alignés loin de la faille et confirmé par la biotite intacte (il n'est égal à l'âge de cristallisation que si le refroidissement a été rapide). Les valeurs de 442 Ma et 376 Ma sont des âges apparents d'un système ouvert : elles ne datent pas d'événement précis. Vérification possible : analyser d'autres minéraux voisins, comparer avec un autre chronomètre plus résistant aux fluides (par exemple U-Pb sur zircon). Limite : le résultat vient d'un seul massif et ne se généralise pas sans autres données.

Critères de réussite : calculs recalculés avec la même équation, distinction nette entre âge de fermeture et âge apparent, prudence sur la causalité, proposition d'un test indépendant.